نرخِ رشدِ نمایی و یک توهمِ مرسوم
توابعِ نمایی می‌توانند بسیار گول‌زنک باشند. در واقع شاید یکی از بزرگ‌ترین نقطه ضعف‌هایِ ما انسان‌ها ناتوانی‌مان در درکِ عملیِ فرایندهای نمایی باشد. این ناتوانی دو سویه دارد. گاه فرایندهایِ نمایی را بیش از حد آهسته فرض می‌کنیم، و گاه بیش از حد سریع؛ گاه بیش از حد کوچک و گاه بیش از حد بزرگ. اما یکی از متداول‌ترین اشتباه‌هایی که در رابطه با توابعِ نمایی می‌کنیم، این تصور است که نرخِ تغییرِ آن‌ها در زمان‌هایِ اخیر، بیشتر از زمان‌هایِ دور در گذشته است. تو گویی توابعِ نمایی مدتی طولانی رشدِ پنهانی و اندک دارند و ناگهان رشدشان آشکار و بزرگ می‌شود. اما این صرفاً یک توهمِ انسانی است. نرخِ رشدِ توابعِ نمایی همیشه نمایی است.
مثلاً نمودار زیر را در نظر بگیرید که نرخِ انقراضِ گونه‌هایِ حیاتی را از ۱۸۰۰ به این‌سو نشان می‌دهد. به جزییات یا معنایِ علمیِ این نمودار کاری ندارم، ولی چون شبیهِ این نوع نمودارها بسیار است، از آن صرفاً به عنوانِ یک مثال استفاده می‌کنم:
این طور به نظر می‌رسد که در اوایلِ قرنِ بیستم نرخِ انقراض شدت گرفته و در آستانه‌ی قرنِ بیست و یکم به حدی افسارگسیخته رسیده است. اما نمودارِ بالا که یک منحنیِ نمایی است ما را گول می‌زند.
برایِ واضح‌تر شدنِ بحث چند نمودار فرضی درست کرده‌ام. هر دو نمودارِ زیر دقیقاً مشابه هستند. نمودار سمتِ راست اندکی پهن‌تر است، اما مقیاسِ هر دو نمودار یکی است. این دو نمودار مقدارِ یک کمیتِ فرضی را بینِ سال‌هایِ ۱۷۰۰ تا ۲۱۰۰ نشان می‌دهند. مقدارِ اولیه‌ی این کمیت در سالِ ۱۷۰۰، عددِ ۱ فرض شده است. این مقدار با نرخِ رشدِ ۲ درصد در سال افزایش می‌یابد.
همان‌طور که در نمودارهایِ بالا ملاحظه می‌شود، این طور به نظر می‌رسد که از اوایلِ قرنِ بیستم به این‌سو نرخِ رشدِ کمیتِ فرضیِ ما افزایشِ ویژه‌ای یافته است. به خصوص اگر به نمودارِ سمتِ چپ نگاه کنیم، این طور به نظر می‌رسد که رشدِ این کمیت در دورانِ معاصر به مراتب سریع‌تر از رشدِ آن در قرن‌هایِ گذشته بوده است. اما این صرفاً یک توهم و خطایِ دید است. نرخِ رشد کمیتِ مذکور همیشه ۲ ٪ بوده است.
حالا به نمودارهایِ زیر نگاه کنید. در این نمودارها قسمت‌هایِ مختلفی از نمودارهایِ بالا نمایش داده شده است. نمودار پایین سمتِ چپ، تغییراتِ کمیتِ مذکور را بین سال‌هایِ ۱۷۰۰ تا ۱۹۰۰ نشان می‌دهد؛ نمودارِ پایین وسط تغییراتِ آن‌را بینِ سال‌هایِ ۱۸۰۰ تا ۲۰۰۰؛ و نمودارِ پایین سمتِ راست تغییراتِ آن‌را بینِ سال‌هایِ ۱۹۰۰ تا ۲۱۰۰. همان‌طور که دقت می‌کنید همه‌ی این نمودارها یک‌شکل هستند و نرخِ رشدِ مشابهی را نشان می‌دهند. در واقعِ این تصور که در اوایلِ قرنِ بیستم روندِ تغییراتِ کمیتِ یاد شده شدت گرفته نادرست است. نرخِ تغییرات در قرن‌های ۲۰ یا ۱۹ یا ۱۸ مشابه بوده است.
آگاهی از نقطه ضعفِ ذاتی‌مان در «درکِ عملی» پدیده‌هایی که رفتارِ نمایی دارند امری کلیدی است. ریاضی تا حدی می‌تواند در این امر به ما کمک کند، با این حال درکِ «عوارضِ عملی» آن معمولاً دشوار است.
